Настройки отображения

Размер шрифта:
Цвета сайта
Изображения

Параметры

PDF Печать E-mail
Оценка пользователей: / 0
ПлохоОтлично 
Добавил(а) Administrator   
05.10.12 00:00

Мастер класс «Удивительная Лента Мебиуса»

учитель Галушкина О.В.

1) Представьте, вы проснулись утром, открыли глаза и увидели, что у вас на полу посередине комнаты стоит коробка, которую вы первый раз видите?

- Какие вопросы возникнут в вашей голове? (Что это?, Зачем это мне нужно? Кто это принес? Что с ней делать? Не опасно ли  Это? Что внутри?

- А теперь открываем коробку и извлекаем из нее ….. Что это? Зачем это нужно? Кто это придумал, создал?  Что с этим делать?....

Выходит, что вопросы остались теми же. Попробуем ответить на них.

 

2) Проведем исследование.

У вас лежат листы с планом исследования.

Первый вопрос «Что это за объект?»

Впишите свое предположение в соответствующую ячейку.

- Пусть это будет бумажное кольцо.

- Как вы думаете, этот объект имеет отношение к математике?

- Да, это действительно математический объект. Или точнее топологический объект. Называется Листом или Лентой Мебиуса.

Второй вопрос «Кто создал?

Немецкий астроном и математик Август Фердинанд Мёбиус взял однажды бумажную ленту, повернул один ее конец на пол-оборота (то есть на 180 градусов), а потом склеил его с другим концом.

То ли от скуки он это сделал, то ли научного интереса ради - теперь уже неизвестно.

Зато доподлинно известно, что именно так и появилась еще в прошлом веке знаменитая лента Мёбиуса.

- Впишите правильное название этого объекта.

 

3) Чем же она знаменита?

Конечно же своими удивительными свойствами.

И сегодня мы их рассмотрим.

И узнаем, почему же математикам стал так интересен этот объект.

Проведем аналогию: Вот известный математический объект – прямоугольник. Он имеет две поверхности, т.е. две стороны. Не переходя через край мы можем закрасить только одну  сторону. То же самое можно сделать и с обычным кольцом. Не переворачивая можно закрасить только одну сторону. Эти обьекты двусторонние.

А лента Мебиуса?

Чтобы проверить, надо закрашивать в одном направлении, не переворачивая.

 

4) Возьмите карандаш и начните закрашивать ленту в каком-нибудь направлении.

- Как вы думаете к какому результату вы придете?

Запишите свое предположение.

Вскоре вы вернетесь в то место, откуда начали. А теперь поглядите внимательно: закрашенной оказалась вся лента целиком!

А ведь вы ее не переворачивали, чтобы закрасить с другой стороны. Да и не смогли бы перевернуть, даже если бы очень захотели.

Потому как поверхность ленты Мёбиуса - односторонняя. Т. Е представляет одну плоскость, хотя изначально бумажная лента из которой была изготовлена лента имела две плоскости.

 

5) Еще одно интересное свойство - связность.

Если прямоугольник разрезать вдоль пополам, то он распадётся на два отдельных прямоугольника.

Обычное кольцо при разрезании вдоль тоже распадется на два объекта.

Поэтому любой тополог скажет, что прямоугольник и кольцо– односвязны.

А лента Мёбиуса?

Если попробовать разрезать ленту вдоль пополам. Что получим?

Запишите предположение.

Вместо двух лент Мёбиуса получится одна длинная двухсторонняя (вдвое больше закрученная, чем лента Мёбиуса) лента, которую фокусники называют «афганская лента».

Значит, Лист Мёбиуса -  двусвязен, при разрезании пополам получаем один обьект.

 

Свойства Афганской ленты не менее удивительны.

Режем пополам вдоль «Афганскую петлю». Что получим?

Если разрезать ее вдоль посередине, то вы получите два одинаковых кольца,  сцепленных между собой.

Обратите внимание, что только после второго разрезания мы получили два объекта. Это и указывает на то, что лист Мебиуса двусвязен!

 

Мы рассмотрели основные свойства ленты Мебуса.

1) односторонняя

2) двусвязная

 

6) И еще один эксперимент. Разрежем ленту на расстоянии 1/3 ее ширины от края. Что получим?

Два кольца - но! - одно большое и сцепленное с ним маленькое.

7) Итак, простая полоска бумаги, но перекрученная всего лишь раз и склеенная затем в кольцо, сразу же превращается в загадочную ленту Мёбиуса и приобретает удивительные свойства.

8) Такие свойства поверхностей и пространств изучает специальный раздел математики - ТОПОЛОГИЯ.

Наука эта настолько сложная, что ее в школе не проходят. Только в институтах (и то не во всех).

ТОПОЛОГИЯ, раздел математики, изучающий свойства геометрических фигур, остающиеся неизменными при любой деформации - сдавливании, растягивании, скручивании (но без разрывов и склеиваний).

Чашка с ручкой топологически эквивалентна бублику; куб, сплошной конус, сплошной цилиндр топологически эквивалентны сфере. Эти фигуры могут рассматриваться как множество точек, и каждая точка одного множества при непрерывной трансформации переходит в точку другого множества.

Лист Мёбиуса (ле́нта Мёбиуса, петля́ Мёбиуса) — топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя при вложении в обычное трёхмерное евклидово пространство R³. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края.

Лист Мебиуса задается уравнением.

Лента Мёбиуса не только упражнение для разума, она и вполне практически применяется. Чудесные свойства листа Мебиуса привели к новым открытиям и изобретениям(очень полезным и совершенно бесполезным).

9) Третий вопрос «Зачем она нужна»

В виде ленты Мёбиуса делают полосу ленточного конвейера, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивается. Еще применяются ленты Мёбиуса в системах записи на непрерывную плёнку (чтобы удвоить время записи), в матричных принтерах красящая лента также имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности, в продвинутых моделях красящая лента также склеена мёбиусом. Это трудно заметить из-за большой длины ленты, но это факт.

Многие физические явления используют для объяснения лист Мебиуса. Ученые генетики рассматривают код ДНК в качестве модели ленты Мебиуса.

Лист Мебиуса служил вдохновением для скульпторов, художников и графиков. Голландский художник М.К. Эшер создан несколько литографий с использованием ленты. Один из известнейших примеров - литография "Лента Мебиуса II", в которой красные муравьи бесконечно ползут по ленте. Картина  Пола Билацика называется "Кельтская лента Мебиуса. Как говорит автор, эта картина - объединение различных аспектов его жизни.

Также лента Мебиуса часто используется в изображениях различных логотипах и торговых марках. Самых яркий пример - международный символ повторного использования

Она также постоянно встречается в научной фантастике, например в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты». Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщенным листом Мёбиуса

В рассказе «Лист Мёбиуса» автора А. Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда.

По мотивам рассказа был снят фантастический фильм «Мёбиус»

Загадочная лента Мебиуса применяется для показа фокусов в цирке.

 

Как видите, небольшая полоска бумаги с одним полувитком может стать предметом восхищения, объектом искусства и большой загадкой для умов человечества.

 

10) Близким «странным» геометрическим объектом является бутылка Клейна. Бутылка Клейна может быть получена путём склеивания двух лент Мёбиуса по краям.

 

11) А теперь, наверное, о самом интересном.

Рассмотрим двойной лист Мебиуса, который получается, если наложить друг на друга две полоски бумаги, перекрутить их, повернув как единое целое на пол-оборота, и соединить концы.

На первый взгляд кажется, что мы получаем два вложенных друг в друга листа Мебиуса.

В самом деле, просунув линейку между полосками бумаги и обводя им вокруг них до тех пор, пока не возвратитесь, вы «докажете», что фигура состоит из двух отдельных лент.

Насекомое, заползшее в щель между бумажными лентами, могло бы совершать такое «кругосветное путешествие» до бесконечности.

При этом оно всегда ползало бы по одной полоске бумаги, спинка его касалось бы другой полоски, и ему нигде не удалось бы найти точку, в которой «пол» сходится с «потолком».

Отсюда наделенное разумом насекомое заключило бы, что оно путешествует между поверхностями двух отдельных полосок.

 

Но представим себе, что наше насекомое оставило на полу метку и совершает обход вокруг полосок до тех пор, пока не встретит ее снова.

Тогда оно обнаружит, что метка находится не на полу, а на потолке и что необходимо обойти еще раз вокруг полосок, чтобы метка снова очутилась на полу!

Мало того, если насекомое настроит вдоль улицы домов и будет нумеровать их слева четные, справа нечетные, то, продолжая движение, вскоре увидит слева четные, справа нечетные.

Что произошло - изменились понятия левое-правое или (страшно подумать) четное-нечетное?

Самое же ужасное то, что наши любимые гаишники не смогут установить правостороннее движение, ведь если вышеозначенные гипотетические насекомые будут ползти по правой стороне, то они скоро лоб в лоб столкнутся с собратьями, тоже ползущими по правой стороне улицы, правда, кто-то из них будет верх ногами, но с этим никто из них не согласится.

Насекомые вряд ли должно обладать недюжинным воображением, чтобы сообразить, что и пол и потолок образуют одну сторону одной единственной полоски.

То, что казалось двумя вложенными друг в друга лентами, на самом деле представляет одну большую ленту. И мы можем развернуть модель, превратив ее в одну ленту, и подумать над каверзной задачей: как придать ей снова «двухслойный» вид?

 

А теперь я предлагаю попутешествовать по ленте Мёбиуса.

Представьте плоское разумное существо, живущее в плоскости и не подозревающее о существовании третьего измерения.

Предположим, что один из друзей отправился в путешествие, не подозревая, что по каким-то причинам плоскость, в которой они живут, оказалась лентой Мебиуса.

Сделав оборот по ней и вернувшись, он предстанет перед друзьями в отраженном виде: сердце справа, ложка в левой руке, хотя он для себя не изменится, для него изменились его друзья.

И тут мы, трехмерные, могли бы помочь в решении его проблемы: осторожно пинцетиком вытащить его из плоскости, перевернуть и вернуть обратно. Он снова станет нормальным, но ни за что не объяснит, что с ним произошло.

 

Теперь один из трехмерных наших друзей отправляется в путешествие. Физики-теоретики считают, что наша вселенная замкнута из-за гравитационного искривления пространства, а по некоторым данным, она еще и перекручена при замыкании как лента Мебиуса.

 

Тогда наш друг вернется со стороны, противоположной той, куда он полетел, и тоже… вы уже в курсе - отраженным. Сердце справа и левша - еще не беда, спираль ДНК в его белке закручена в другую сторону - только пол беды, но если изменилось направление вращения электронов вокруг ядер или вокруг своей оси (спин), то может произойти аннигиляция и некому будет его встречать, от Солнечной системы останется только вспышка.

Поэтому кто-то из четвертого измерения должен помочь - да, да, осторожно пинцетиком вытащить его в четвертое измерение, перевернуть и осторожненько вернуть к нам. И пусть потом агент Малдер из ФБР в течение пяти серий выясняет, что произошло с нашим другом, но об этом будем знать только мы.

 

Также, пинцетиком, существо из четырехмерного мира может поменять правую перчатку на левую, закрученную по часовой стрелке ракушку на закрученную против часовой стрелки, может вытащить нас из замкнутой комнаты, или, наоборот, поместить в нее.

Мало того, как мы, трехмерные, можем искривить плоскую ленту и переместить пинцетиком плоское существо из одной точки плоскости в другую, далекую для плоского существа, но близкую для нас трехмерных, также и нас, трехмерных, четырехмерное существо может запросто перенести как угодно далеко, в Африку, в Сызрань, на Альфу Центавра, причем без энергетических затрат - нужно только хорошо попросить.

Но это пока лишь только теория!!!

И пока вы осмысливаете полученную информацию, я исполню, песню, которую сама написала. Это моя ассоциация связанная с этой темой.

Песня.

Итак, я думаю что сегодня  каждый для себя открыл что-то новое. Кому - то я надеюсь вам понравилось и вы расскажете о удивительных свойствах ленты своим знакомым.

Последнее обновление 06.05.15 16:01